Mentiras que as Pessoas Contam – o Retorno

Um dos “insights” mais brilhantes que conheço na história é o da medida da circunferência da Terra por Eratóstenes. A ideia, que posso dizer ser brilhante, é que usando geometria e medidas locais de distância é possível estimar o raio da Terra.

O conceito é simples. A circunferência da terra é dada pela conhecida equação:

Onde r é o raio da terra.

Já a distância entre dois pontos em um círculo (ou esfera) é dada pelo produto do ângulo pelo raio da terra. Ou seja:

Note que fazendo a razão entre os dois temos:

Então para saber qual é o valor de L, basta arranjar os termos:

O leitor pode verificar que a dificuldade em encontrar o ângulo. E aí é que pode-se ver a genialidade de Eratóstenes, ao se valer de geometria para resolver a questão de quem é este ângulo. A solução estava na junção de geometria com geografia.

No caso, na cidade de Siena, o sol ficava a pino no dia do Solstício de Verão, o que implica em nenhuma sombra ao meio dia.

Já na cidade de Alexandria, no mesmo horário e praticamente na mesma longitude, havia sombras. Então por geometria básica, o ângulo desejado é o mesmo ângulo da sombra. Assim sabendo o ângulo da sombra (ou por aproximação pela razão entre a altura do objeto e sua sombra), ele calculou a circunferência da terra.

Naturalmente há diversas fontes de erro. A primeira delas é que as cidades têm de estar precisamente na mesma longitude. Há também a questão da medição de tempo: as sombras devem ser medidas no mesmo horário. E por fim existem os erros nas medições das dimensões e distâncias envolvidas.

A quantificação destes erros dá uma medida dos intervalos que o resultado da faixa da medida da terra em questão. A forma final é:

Esta equação é bem interessante pois permite ver como os erros de medição podem influir no erro da medida final. Por exemplo, se o erro de medição de distância for 1%, e o de ângulo for de 0,1% temos que o erro final é 0,9%.

No caso da medida de Eratóstenes, a distância medida foi de 5000 estádios, e o ângulo foi de 1/50 avos de um círculo (o que dá 7.2 graus ou 0.12566 radianos). O resultado é 5000/(1/50) o que dá 250000 estádios.

Há o problema de saber quanto era um estádio. Além disto, aqui temos que ser um pouco céticos com relação a estes números. Uma medida de distância de exatamente 5000 estádios é muito improvável de ser real (pode muito bem ser 4995 ou 5005 estádios em uma suposição muito razoável). Já o erro de ângulo pode ser muito bem entre 1/40 e 1/60 avos de um círculo ( o que dá entre 6 e 9 graus). Então temos um erro de 0.2% na distância e 20% no ângulo. Substituindo temos como resultado dá cerca de 17%

Então o leitor pode ver que a maior fonte de erro é exatamente o ângulo.

Com relação aos valores exatos que temos hoje, a distância entre Alexandria e Siena (atual Assuâ) é de 844 km em via aérea (ou 1071 km através das estradas). Pelas contas contas, 50 vezes isso seria a circunferência da terra portanto 42.200 km (ou 53.500 km através das estradas).

Se utilizamos os valores com os erros temos algo entre 33760 e 50640 (ou entre 42840 km e 64260 km).

Considerando o valor calculado por Eratóstenes de 42.200 km (ou 53.500 km) com valor atualmente utilizado (40.000 km), o erro parece muito grande…

Parece muito, mas o fato de isto ter sido medido com sombras é absolutamente extraordinário.

Bem, este é um tema que já mencionei antes na versão anterior do Blog. Vou colocar aqui o que eu escrevi:

“Este é o mote de uma piadinha de físico muito famosa:

“Um fazendeiro contratou um físico para modelar sua fazenda de forma a otimizar o seu espaço. O físico foi a fazenda, avaliou, fez diversas anotações, e foi embora, passando semanas sem dar notícias. Outro dia, então, aparece ele afirmando que havia encontrado a resposta; começou então a sua brilhante explanação:

– Considere que seu gado seja constituído por vacas esféricas se movendo no vácuo…”

Há diversas variações da mesma…

“Considere o espaço de Hilbert das vacas esféricas no vácuo, com densidade constante, na ausência de gravidade, expelindo leite isotropicamente e com fluxo constante F para um dado referencial S. Dado o operador autoadjunto “gravidez da vaca” G, calcule a probabilidade de ela estar prenha.”

Todas tratam do mesmo tema: a simplificação exagerada de um modelo físico (conhecido popularmente no meio como Toy Model). A parte interessante disso é a precisão do modelo varia com a aplicação. Por incrível que pareça, o modelo “Animal Esférico” tem aplicações interessantes (aos que estão curiosos: o uso do modelo de animal esférico permite explicar a relação de necessidade de manutenção de energia em organismos vivos).

Mas, com uma frequência assustadora, esta tendência de simplificação exagerada de modelo costuma aparecer em diversos ramos das ciências. As consequências podem ir de relativamente simples (algumas interessantes são o problema da contratação da secretária, o das rainhas no tabuleiro e outros), até consequências bastante sérias.

Não, não irei atacar a questão do aquecimento global aqui (apesar de já estar gerando afirmações quase irresponsáveis). Vou tratar de um assunto mais abrangente: do que lhe é mostrado, consegue identificar o que resultado de um modelo simplificado do que é resultado de um modelo mais refinado?

Vamos a alguns casos:

1. Os livros de história estão cheios de informações que os europeus mataram milhões de índios. Mas, como se sabe quantos índios haviam antes dos europeus chegarem?
2. Um estudo publicado recentemente afirma que 75% dos brasileiros nunca pisaram em uma biblioteca. Como se chegou a este número?
3. Os veículos de comunicação estão cheio de notícias ligadas a saúde afirmando que determinadas substâncias fazem bem ou fazem mal a você. Como pode uma substância fazer mal e depois fazer bem e vice versa?
4. Como se pode afirmar que o planeta terra terá problemas com a água se 3/4 da sua superfície é água?
5. Como é que alguém pode saber que a cada 15 segundos uma mulher é espancada no Brasil?

Se você não sabe a respostas a estas perguntas não se preocupe. A maioria das pessoas engole esta informação sem pestanejar. Ora bolas, mesmo especialistas vez por outra caem na armadilha de supor que o modelo é a realidade.

A verdade é que todas estas questões têm respostas perfeitamente lógicas e não contém nenhum paradoxo a partir do momento que se saí do Toy Model para um modelo mais refinado (não há contradições com a afirmação original, apenas imprecisões). O problema é que via de regra, para descobrirmos que estamos usando um modelo do tipo “Vaca Esférica”, alguma coisa tem que dar muito errado.

Como resolver este problema? Bem, temos que ter muito cuidado e atenção no uso dos nossos modelos e devemos sempre saber quais são as premissas envolvidas neste modelo.”

A física tem seu lado fascinante, e seu lado enervante. Muitos que conheço se surpreenderam quando aprenderam que corpos sob atração da gravidade caem da mesma forma. Normalmente, as pessoas são levadas ao convencimento que isto é verdade pela utilização do termo “no vácuo”.

Imagino que isso era uma forma de evitar a controvérsia aparente: “Como é que duas coisas, uma mais pesada do que outra caem do mesmo jeito?”

A resposta é simples, mas enganosa: a força que cada um sofre devido a gravidade é diferente, mas a queda dos dois é independente da massa.

Será mesmo?

E nisso entra a questão do efeito da resistência do ar.

Este foi um ponto que sempre me interessou na questão da queda livre. Em geral, o estudo que é apresentado sempre trata da queda de corpos sem efeito de forças de atrito. As equações são bem conhecidas e coloco aqui já que vou elaborar mais sobre a questão:

A solução é simples, dado que é uma integração direta. Vamos considerar as condições iniciais que x(0)=h e v(0)=0. Estas condições correspondem a um corpo largado de uma altura h. A solução com relação a espaço é:

Já a solução da velocidade é obtida derivando esta solução:

Mas normalmente, as soluções com atrito não são apresentadas. Então se incluirmos um atrito (que pode ser a resistência do ar) no problema, temos:

A solução desta equação sob as mesmas condições iniciais é:

E a velocidade é:

Estas soluções são mais complicadas que as soluções bem conhecidas da dinâmica de ensino médio. Mas trazem informações muito importantes. A primeira delas é que para t>>m/k temos que a velocidade de queda é constante e igual a g*m/k. Esta é a famosa velocidade terminal e será determinada essencialmente pela aceleração da gravidade g, e pela razão entre a massa do objeto e sua constante k (relativa ao atrito ou resistência).

A segunda é que a equação que permite o cálculo do tempo de queda passa a ser transcendental, ou seja, sua solução só pode ser encontrada numericamente. Então, numericamente, podemos ver como as coisas se comportam a partir das razões m/k. Vamos colocar g=10 e ver como ficam os gráficos de velocidade e espaço com vários valores de m/k (10,1,0.1).

O que este gráfico diz é que a para altura de 10 metros e g=10, o problema sem a resistência chega ao solo em 1.414213562 segundos aproximadamente. Já na situação com m/k=10, o tempo de queda é um pouco maior (cerca de 1.448347511). E para o caso de m/k=1 o tempo de chegada ao solo é 10.10000000.

Podemos considerar o caso 1 pode ser considerado uma pedra no vácuo, o caso 2 uma pedra no ar e o caso 3 uma pena no ar.

Caso dobremos a massa e o objeto tenha o mesmo k, teremos tempos de queda de 1.448347511 e 1.431078508 (para m/k=10 e m/k=20). Note que isto indica que um experimento levando em conta esta situação terá pouquíssimas diferenças no tempo de queda dos dois objetos.

Este efeito pode ser visto da seguinte maneira:

1. Pegue caderno
2. Retire uma folha
3. Solte o caderno e a folha da mesma altura. Veja quem chega ao chão primeiro (se não for o caderno selecione outro universo para o experimento)
4. Amasse a folha de papel no formato de uma bolinha
5. Repita o procedimento (solte o caderno e a folha amassada da mesma altura). Veja quem chega ao chão primeiro. A diferença deve ser pequena.

Note que a massa da folha não se alterou, assim como a massa do caderno se manteve.

O que mudou?

O que mudou foi k. Ao amassar a folha o valor de k diminuiu, fazendo com que m/k aumentasse consideravelmente.

Isto tudo que foi apresentado são resultados para o caso de resistência em que o movimento não irá causar turbulência no fluido (famoso escoamento laminar).

No caso mais geral a equação é (há um pequeno erro no sinal de m*g):

E a solução é (o sinal também está faltando aqui):

Que é similar ao caso anterior, mas mais próxima do caso real . Note que a velocidade terminal agora é diferente, e dada por:

O efeito da velocidade terminal é similar, mas sua equação de cálculo é diferente do caso anterior. É possível relacionar k0 com a área, densidade do ar e coeficiente aerodinâmico. Mas creio que o post já mostrou que o efeito da resistência é exatamente o de aumentar o tempo de queda de acordo com o coeficiente k (ou k0).

E isto leva ao ponto principal deste post.

Vamos seguir as pistas:

1. A folha de papel aberta caí mais lentamente que o caderno.
2. A mesma folha, ao ser amassada, caí praticamente ao mesmo tempo que o caderno

Nestes dois exemplos, a propriedade massa do folha de papel não se alterou. Apenas a geometria da folha foi modificada. Isto é um indicador que o formato é que causou (ou pelo menos foi o maior responsável) pela diferença dos tempos de queda dos objetos do experimento. O efeito do formato é o de sofrer maior ou menor influência a velocidade relativa do fluido.

Isto também é um indicador que, se retirada a influência da geometria do objeto, corpos de massas diferentes caem a taxas iguais (ou no mínimo similares). Então na equação da força:

incluímos um termo adicional. Inicialmente proporcional a velocidade:

E depois proporcional a energia cinética:

Para indicar o efeito da diferença na geometria.

Retirado o termo (fazendo k=k0=0) temos exatamente a equação que afirma que corpos de massas diferentes caem a taxas iguais (pois a massa aparece dos dois lados da equação, podendo ser retirada).

E foi isto que Galileu acabou por provar nos seus experimentos.