A física tem seu lado fascinante, e seu lado enervante. Muitos que conheço se surpreenderam quando aprenderam que corpos sob atração da gravidade caem da mesma forma. Normalmente, as pessoas são levadas ao convencimento que isto é verdade pela utilização do termo “no vácuo”.
Imagino que isso era uma forma de evitar a controvérsia aparente: “Como é que duas coisas, uma mais pesada do que outra caem do mesmo jeito?”
A resposta é simples, mas enganosa: a força que cada um sofre devido a gravidade é diferente, mas a queda dos dois é independente da massa.
Será mesmo?
E nisso entra a questão do efeito da resistência do ar.
Este foi um ponto que sempre me interessou na questão da queda livre. Em geral, o estudo que é apresentado sempre trata da queda de corpos sem efeito de forças de atrito. As equações são bem conhecidas e coloco aqui já que vou elaborar mais sobre a questão:
A solução é simples, dado que é uma integração direta. Vamos considerar as condições iniciais que x(0)=h e v(0)=0. Estas condições correspondem a um corpo largado de uma altura h. A solução com relação a espaço é:
Já a solução da velocidade é obtida derivando esta solução:
Mas normalmente, as soluções com atrito não são apresentadas. Então se incluirmos um atrito (que pode ser a resistência do ar) no problema, temos:
A solução desta equação sob as mesmas condições iniciais é:
E a velocidade é:
Estas soluções são mais complicadas que as soluções bem conhecidas da dinâmica de ensino médio. Mas trazem informações muito importantes. A primeira delas é que para t>>m/k temos que a velocidade de queda é constante e igual a g*m/k. Esta é a famosa velocidade terminal e será determinada essencialmente pela aceleração da gravidade g, e pela razão entre a massa do objeto e sua constante k (relativa ao atrito ou resistência).
A segunda é que a equação que permite o cálculo do tempo de queda passa a ser transcendental, ou seja, sua solução só pode ser encontrada numericamente. Então, numericamente, podemos ver como as coisas se comportam a partir das razões m/k. Vamos colocar g=10 e ver como ficam os gráficos de velocidade e espaço com vários valores de m/k (10,1,0.1).
O que este gráfico diz é que a para altura de 10 metros e g=10, o problema sem a resistência chega ao solo em 1.414213562 segundos aproximadamente. Já na situação com m/k=10, o tempo de queda é um pouco maior (cerca de 1.448347511). E para o caso de m/k=1 o tempo de chegada ao solo é 10.10000000.
Podemos considerar o caso 1 pode ser considerado uma pedra no vácuo, o caso 2 uma pedra no ar e o caso 3 uma pena no ar.
Caso dobremos a massa e o objeto tenha o mesmo k, teremos tempos de queda de 1.448347511 e 1.431078508 (para m/k=10 e m/k=20). Note que isto indica que um experimento levando em conta esta situação terá pouquíssimas diferenças no tempo de queda dos dois objetos.
Este efeito pode ser visto da seguinte maneira:
- Pegue caderno
- Retire uma folha
- Solte o caderno e a folha da mesma altura. Veja quem chega ao chão primeiro (se não for o caderno selecione outro universo para o experimento)
- Amasse a folha de papel no formato de uma bolinha
- Repita o procedimento (solte o caderno e a folha amassada da mesma altura). Veja quem chega ao chão primeiro. A diferença deve ser pequena.
Note que a massa da folha não se alterou, assim como a massa do caderno se manteve.
O que mudou?
O que mudou foi k. Ao amassar a folha o valor de k diminuiu, fazendo com que m/k aumentasse consideravelmente.
Isto tudo que foi apresentado são resultados para o caso de resistência em que o movimento não irá causar turbulência no fluido (famoso escoamento laminar).
No caso mais geral a equação é (há um pequeno erro no sinal de m*g):
E a solução é (o sinal também está faltando aqui):
Que é similar ao caso anterior, mas mais próxima do caso real . Note que a velocidade terminal agora é diferente, e dada por:
O efeito da velocidade terminal é similar, mas sua equação de cálculo é diferente do caso anterior. É possível relacionar k0 com a área, densidade do ar e coeficiente aerodinâmico. Mas creio que o post já mostrou que o efeito da resistência é exatamente o de aumentar o tempo de queda de acordo com o coeficiente k (ou k0).
E isto leva ao ponto principal deste post.
Vamos seguir as pistas:
- A folha de papel aberta caí mais lentamente que o caderno.
- A mesma folha, ao ser amassada, caí praticamente ao mesmo tempo que o caderno
Nestes dois exemplos, a propriedade massa do folha de papel não se alterou. Apenas a geometria da folha foi modificada. Isto é um indicador que o formato é que causou (ou pelo menos foi o maior responsável) pela diferença dos tempos de queda dos objetos do experimento. O efeito do formato é o de sofrer maior ou menor influência a velocidade relativa do fluido.
Isto também é um indicador que, se retirada a influência da geometria do objeto, corpos de massas diferentes caem a taxas iguais (ou no mínimo similares). Então na equação da força:
incluímos um termo adicional. Inicialmente proporcional a velocidade:
E depois proporcional a energia cinética:
Para indicar o efeito da diferença na geometria.
Retirado o termo (fazendo k=k0=0) temos exatamente a equação que afirma que corpos de massas diferentes caem a taxas iguais (pois a massa aparece dos dois lados da equação, podendo ser retirada).
E foi isto que Galileu acabou por provar nos seus experimentos.
Mentiras que as Pessoas Contam - o Retorno 