Quantas pessoas que você conhecem podem estar doentes?

Prezados, depois de um bom hiato, e de descobrir que meu antigo blog ainda pode ser utilizado para novas mensagens, eu estou de volta.

Nesses tempos de COVID-19 (COronaVIrus Disease 2019), há muitos conceitos de biologia, química, matemática, estatística e mesmo engenharia flutuando no ar. E um dos tópicos que desejo tratar aqui é sobre a questão de uma unidade relativa ao assunto: infectados por milhão de habitantes (NIpm).

Esse número é, na realidade, uma medida equivalente a probabilidade (população dividido por população). E pode estar relacionado a chance que você conheça alguém com a doença.

Como a probabilidade de alguém estar infectado pode ser descrita, de modo simplificado, como o número de infectados (NI) dividido pela população geral (NT), ou seja: p=NI/NT.

Já o número de infectados por milhão é igual a p*100000. Ou seja NIpm=p*1000000. Assim, p=NIpm/100000. Portanto, para obter a probabilidade de alguém estar infectado é simplesmente o número de infectados por milhão, dividido por 1 milhão .

Então como utilizar isso? Vamos dizer que haja aleatoriedade em que você conheça alguém que tem ou não a doença. O conjunto é (p+q)=1, aonde p é a probabilidade de ter a doença e q é 1-p. Portanto, ao encontrar aleatoriamente n pessoas, temos o binômio de Newton (p+q)^N. No caso de duas pessoas (N=2), podemos expandir com facilidade:

p^2+2*p*q+q^2

Já a chance que nenhuma dessas pessoas tenha a doença é q^2. Ou, seja a chance que uma ou mais delas tenha a doença é 1-q^2=1-(1-p)^2.

O mesmo raciocínio pode ser utilizado se temos N pessoas, neste caso a probabilidade é 1-(1-p)^N.

Para valores pequenos de p (ou seja, quando o número de infectados por milhão é pelo menos 100 vezes menor que 1 milhão), esta expressão pode ser aproximada por:

1-1+N*p=N*p

Lembrando que NIpm=p*1000000, portanto a chance pode ser aproximada por N*NIpm/1000000

Bom, aí quando é que esta chance é de 50%?  É quando N*NIpm/1000000=1/2. Rearranjando:

N=500000/NIpm

Colocando números, se NIpm=50, com 10000 amigos há uma chance de 50%. Com 500, o número de amigos passa a ser 1000. Ou seja, considerando um processo aleatório, se você tiver 1000 conhecidos se o número de infectados por milhão exceder 500, então há uma chance de 50% que algum dos seus conhecidos tenha a doença.

Bom e como estão os números hoje (28 de maio de 2020)? Existem cerca de 220 mil casos ativos. Se arredondarmos a população brasileira para 220 milhões isto significa 1 caso em mil. Ou, em termos de infectado por milhão, temos NIpm=1000.

Utilizando as equações temos: N*1000/1000000=1/2, ou N=500. Ou seja se você tem 500 amigos, há uma chance de 50% de pelo menos um deles estar infectado.