A Medida da Sombra

Um dos “insights” mais brilhantes que conheço na história é o da medida da circunferência da Terra por Eratóstenes. A ideia, que posso dizer ser brilhante, é que usando geometria e medidas locais de distância é possível estimar o raio da Terra.

O conceito é simples. A circunferência da terra é dada pela conhecida equação:

Onde r é o raio da terra.

Já a distância entre dois pontos em um círculo (ou esfera) é dada pelo produto do ângulo pelo raio da terra. Ou seja:

Note que fazendo a razão entre os dois temos:

Então para saber qual é o valor de L, basta arranjar os termos:

O leitor pode verificar que a dificuldade em encontrar o ângulo. E aí é que pode-se ver a genialidade de Eratóstenes, ao se valer de geometria para resolver a questão de quem é este ângulo. A solução estava na junção de geometria com geografia.

No caso, na cidade de Siena, o sol ficava a pino no dia do Solstício de Verão, o que implica em nenhuma sombra ao meio dia.

Já na cidade de Alexandria, no mesmo horário e praticamente na mesma longitude, havia sombras. Então por geometria básica, o ângulo desejado é o mesmo ângulo da sombra. Assim sabendo o ângulo da sombra (ou por aproximação pela razão entre a altura do objeto e sua sombra), ele calculou a circunferência da terra.

Naturalmente há diversas fontes de erro. A primeira delas é que as cidades têm de estar precisamente na mesma longitude. Há também a questão da medição de tempo: as sombras devem ser medidas no mesmo horário. E por fim existem os erros nas medições das dimensões e distâncias envolvidas.

A quantificação destes erros dá uma medida dos intervalos que o resultado da faixa da medida da terra em questão. A forma final é:

Esta equação é bem interessante pois permite ver como os erros de medição podem influir no erro da medida final. Por exemplo, se o erro de medição de distância for 1%, e o de ângulo for de 0,1% temos que o erro final é 0,9%.

No caso da medida de Eratóstenes, a distância medida foi de 5000 estádios, e o ângulo foi de 1/50 avos de um círculo (o que dá 7.2 graus ou 0.12566 radianos). O resultado é 5000/(1/50) o que dá 250000 estádios.

Há o problema de saber quanto era um estádio. Além disto, aqui temos que ser um pouco céticos com relação a estes números. Uma medida de distância de exatamente 5000 estádios é muito improvável de ser real (pode muito bem ser 4995 ou 5005 estádios em uma suposição muito razoável). Já o erro de ângulo pode ser muito bem entre 1/40 e 1/60 avos de um círculo ( o que dá entre 6 e 9 graus). Então temos um erro de 0.2% na distância e 20% no ângulo. Substituindo temos como resultado dá cerca de 17%

Então o leitor pode ver que a maior fonte de erro é exatamente o ângulo.

Com relação aos valores exatos que temos hoje, a distância entre Alexandria e Siena (atual Assuâ) é de 844 km em via aérea (ou 1071 km através das estradas). Pelas contas contas, 50 vezes isso seria a circunferência da terra portanto 42.200 km (ou 53.500 km através das estradas).

Se utilizamos os valores com os erros temos algo entre 33760 e 50640 (ou entre 42840 km e 64260 km).

Considerando o valor calculado por Eratóstenes de 42.200 km (ou 53.500 km) com valor atualmente utilizado (40.000 km), o erro parece muito grande…

Parece muito, mas o fato de isto ter sido medido com sombras é absolutamente extraordinário.